Obr. 1. (27× obrázek) Úhlopříčky stěnové, tělesové a čtyřtělesové (8×)
OBSAH
Vícerozměrná tělesa lze promítat na plochu dvojrozměrného (2D)
prostoru. Vzniklými obrazci se vyjadřují původní tělesa, nyní šikmo promítnutá.
Stěny skutečné krychle jsou tvořené čtverci. Avšak promítnutím krychle na plochu se čtverce přetvoří v obdélníky, kosodélníky či se zobrazí jediný čtverec. Nic zvláštního; vždyť takové zkreslení vidíme i u skutečné krychle v denním životě, ve skutečném 3D prostoru. To proto, že náš zrak zpracuje obrázky také jen plošně, zachycené povrchem oční sítnice.
Rovněž 4D krychle se promítne na 2D plochu. Zobrazí ji tvarově
zkreslené 3D krychle. (Zobrazeno v předchozím textu Vznik čtyřrozměrné krychle - V,
například 5obr12.)
Diskrétní - bodový obrázek ukazuje všechny 4D úhlopříčky svým způsobem (obr. 1).
Zobrazit jediný obrázek:
4 8 16 20 21 22 23 24 25 26 27
Obr. 2. Úhlopříčky stěnové, tělesové a čtyřtělesové srozumitelně : 14x obrázek 260 kB
Ale nemají se snad zahrnout i další úhlopříčky? Vždyť okrajových krychlí
je osm, těmi jsou tvořeny trojrozměrné okraje pro tuto 4D krychli (obrázek
zde).
Ne, víc než osm čtyřtělesových úhlopříček 4D krychle nemá. Okrajové
krychle, tvořící povrch 4D krychle, mají své tělesové úhlopříčky, nám
dobře známé.
Rozfázovaný obrázek předvede úhlopříčky
krychlí o různé rozměrovosti (obr. 3).
Začíná 1D krychlí = úsečkou a pokračuje až k 5D krychli.
Euklidův prostor, plný iracionalit, vždy čtverci přisoudí úhlopříčku nevypočítatelné délky. Jednotkový čtverec (o straně a = 1) má úhlopříčku u délky odmocniny ze 2, dle Pythagorovy věty.
Jinak u nedoceněné perspektivní geometrie, která vystihuje zrakové
zážitky. Užívám pro ni nelineárně cejchované osy. Souřadnice x, y
a z, umocněné na
druhou, dbají perspektivního zmenšování objektů, které se vzdalují
od pozorovatele: x2,
y2 a z2. Obraz, předložený do
vědomí, navíc dotvoří mozková činnost pozorovatele (text ZDE).
V prostoru perspektivních zážitků se intenzita vzdalování objektu
zmenšuje a to úměrně ke vzdálenosti. V takové geometrii má jednotkový
čtverec délku úhlopříčky u = 2. Naopak v Euklidově prostoru bychom úsečku u = 2
předpokládali zobrazenou jako delší, nikoliv jen jako úhlopříčku
jednotkového čtverce; přečnívala by.
Podkladem hledaných perspektivních zobrazení je diskrétní prostor (obr.
3obr4). V něm se matematické
vyjádření délky nemění - ať je počátku [0,0] blízko nebo
daleko; vzdalováním se mění geometrická délka jen v
perspektivním zážitku (obr. 12obr3).
Krychle o hraně a = 1 má tělesovou úhlopříčku Euklidova prostoru u = √3. Pro 4D krychli o hraně a = 1 vychází čtyřtělesová úhlopříčka délky u = √4 = 2. A tak dál.
Každou úhlopříčku v obrázku označuji číslem, které značí její
délku. A to v prostoru s kvadraticky cejchovanými osami, jenž připomíná
perspektivní prostor. V něm má krychle prostorovou úhlopříčku délky u
= 3, bez odmocniny.
| n-rozměrný jednotkový čtverec: | 1D | 2D | 3D | 4D | 5D | ... |
| Délka úhlopříčky - prostor Euklidův | 1 | √2 | √3 | 2 | √5 | ... |
| Délka úhlopříčky - prostor perspektivní | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... |
Obr. 3. Délky úhlopříček 1D - 5D útvarů - spojitě (30×) v prostoru x2, y2, z2, ...
Zobrazit jedinou fázi 3. obrázku:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Při promítání jednotkové 4D krychle na euklidovskou plochu 2D, při jakémkoliv jejím otáčení, se nemůže objevit 4D úhlopříčka delší než 2. Toho dbá poslední obrázek (obr. 4), kdežto předchozí obrázky natahovaly rozmístění sousedních krychlí ve prospěch srozumitelnosti výkladu.
Při zakreslení 4D úhlopříčky, v největší délce u = 2, se nezobrazí žádná stěna jako čtverec. Již jinde jsem zmínil, že ukazuje-li se krychle jako nárys čtverce, pak již nezobrazí žádnou z dalších stěn. Zde však obrázky tuto zásadu nedodržují.
