Práce ověřuje, jednorozměrné kružnici, zavedený výpočet jejího povrchu a obvodu. Zjišťuje, že využitím jejího 1D obvodu se nepřejde k výpočtu kružnice. Navrhuje postup, jenž nabízí jiné, vždy iracionální výsledky. Jaké platí ve všech vícerozměrných prostorech.

OBSAH

0. Seznam symbolů
1. Obvod 1D kružnice Euklidova prostoru
2. Obvod 2D kružnice jako racionální
3. Obvod 2D kružnice je iracionální
4. Obvody 2D, 3D, 5D a 1D kružnic
5. Iracionální velikost všech kružnic
6. Závěr
  6.1. - 6.2.

0. Seznam symbolů

d ... průměr kružnice

f_i ... úseky na ose

n ... počet rozměrů geometrického prostoru

o_i ... úseky obvodu kružnice

O ... obvod kružnice

r ... poloměr kružnice

S ... obsah kružnice

x, y, z, v, w ... osy kartézských souřadnic

1. Obvod 1D kružnice Euklidova prostoru

Zavedený postup určuje obvodu každé 1D kružnice velikost obvodu O = 2. Jejímu 1D povrchu, zřejmě její délce, S = d, shodně s úsečkou. A to bez rozlišení zadaného racionálního nebo iracionálního průměru 1D kružnice. Racionální výsledky se nesrovnávají s ostatními Euklidovými prostory, n > 1, kde obvod a obsah jsou vždy iracionální.

2. Obvod 2D kružnice jako racionální

Ať 2D kružnice je složená z nekonečného počtu paralelních 1D kružnic. Pak její obvod vychází racionální.

Příčinou je násobek čísla 2; každá 1D kružnice dodává konstrukci 2D kružnice své dva okrajové body, dle přijatého vztahu O = 2.

3. Obvod 2D kružnice je iracionální

Jenže vztah O = 2 · π  · r, pro výpočet obvodu, předepisuje vždy iracionální výsledek. Tím se liší od výsledku z minulé kapitoly, od racionálního násobku čísla 2.

Zavedená velikost obvodu O = 2, pro 1D kružnici, se tímto srovnáním znejisťuje.

4. Prostory 2D, 3D, 5D a 1D

2D
Obvod kružnice rozdělím na oblouky stejné délky o₁ = o₂ = o₃ = o₄ = o_i.

Promítnutím oblouků o_i vznikají na svislé ose úsečky různé délky f_i (obr. 1). Také na vodorovné ose.

Obr. 1. Dělení kružnice na stejné úseky

3D
Posuzujeme-li kouli stejného poloměru, pak se stejné úseky objeví i na všech třech jejích osách.

5D
Totéž platí například i v pětirozměrném prostoru. Pětirozměrnou kouli určí rovnice x ² + y ² + z ² + v ² + w ² = r ². Povrchem takové koule 5D prostoru jsou 4D koule, soustředěné na ose v 5. směru Euklidova 5D prostoru. Nestejné úseky f_i najdu i na každé z pěti os; budou shodné s příslušnými úseky os 2D prostoru u kružnice stejného poloměru.

1D
Pro libovolné n budou úseky stejné, jako byly v 2D prostoru. Tedy i v 1D prostoru. I tam bude 1D kružnice tvořena body, jež jsou nelineárně rozložené na ose. Není srozumitelný důvod, jenž sjednocuje úseky, a vede ke vztahu S = d.

Snižováním počtu os, například z 5D prostoru přes 4D, 3D, 2D až do 1D, se rozložení bodů na osách nemění. Tudíž nakonec zbývá jediná osa a také 1D kružnice získává body, rozložené nelineárně.

5. Iracionální velikost všech kružnic

Nabízejí se odlišné vztahy pro výpočet 1D kružnice, než jsou dosud přijaté. Lze užít vztahy odvozené z 2D a 3D prostoru (tab. 1). V tabulce, určené pro výpočet obvodu a obsahu n-rozměrných kružnic, jsou obě vlastnosti každé n-kružnice iracionální.

Tab. 1. Výpočty povrchů a objemů n-rozměrných koulí

6. Závěr

Popsaná souvislost odmítá výsledek O = 2 pro obvod 1D kružnice, a také S = d pro její obsah. Nahrazuje je vztahy O = π, a také S = π  · d/2.

Výsledky v prostorech 3D a 2D jsou nám snadno ověřitelné měřením, narozdíl od vyšších prostorů. Zatímco u prostorů pro n > 1 snadno rozpoznáváme jejich křivost svým smyslovým vnímáním, u 1D kružnice toto chybí. Následně přijímáme výsledek, odlišný svou racionalitou. Obsah ztotožníme s délkou úsečky.

Zkoumané těleso je třeba rozdělit na stejné úseky, neboť ono je zkoumaným objektem a nikoliv osa. Podobně povrch koule zobrazit po stejně velkých jednotkových plochách. Jinak u kružnic dochází:

6.1.

6.2.