3. Důkaz jednorozměrné kružnice. Lissajous
💾
Bohumír Tichánek
* * *
Bohumír Tichánek
* * *
Dle dosavadního názoru je jednorozměrným kruhem úsečka. Jenže stav v 1D prostoru lze vysvětlovat nejen staticky - v geometrii, ale i dynamicky - s užitím času ve fyzice.
Lissajousův obrazec vytvoří kružnici. Jeho dvě použité složky zkusím považovat za 1D objekty - 1D kruhy. Pak rozliším průměr a rozkmit 1D kruhu. Vzniklý výsledek nabídne jednoduchý vztah pro výpočet n-objemů n-kružnic. Postup po svém popisuje přechod z bodového do Euklidova prostoru.
Výsledek podporuje názor na diskrétní způsob stavby světového prostoru.
* * *
Kružnici lze popsat staticky, v geometrii. Kartézské souřadnice Euklidova prostoru určují rovnice:
Rovnice povrchu koule: x2 + y2 + z2 = r2
Rovnice kružnice: x2 + y2 = r2
Rovnici 1D kružnice vychází: x2 = r2
V geometrickém vysvětlení jednorozměrné kružnice hledám nesrovnalosti.
Jednotková 1D kružnice má dva body obvodu [1] a [–1]. Velikost obvodu se udává O = 2, což však svědčí údaji 1D kružnice diskrétního prostoru. Vždyť velikost bodu Euklidova prostoru klesá limitně k nule; zde obvod O = 2 je málo důvěryhodný.
Dosud v matematice ztotožňujeme jednorozměrný obsah 1D kružnice s jejím průměrem. Přitom kružnici nebo kouli odlišujeme jejich obsah nebo objem od průměru. Hledám postup, jenž podobně odlišuje jednorozměrné kružnici její 1D obsah od průměru.
Snahu o změnu podpírám nemožností určit rozmístění hmoty v Euklidově prostoru - brání mu iracionální vzdálenosti.
(Zpochybňování viz: Iv).
Obr. 1. Kružnice, vykreslovaná bodem v čase
Obr. 2. Vznik kružnice Lissajousova obrazce
Dvěma harmonickými funkcemi se určují, závisle na čase, souřadnice bodů kružnice (obr. 2).
Lissajousovu kružnici lze měnit v elipsu, a to zmenšováním fázového rozdílu mezi jejími harmonickými složkami. Rovnice elipsy obsahuje dva sčítance, ale po stažení tohoto obrazce do úsečky se nabízí úspora. Postačí jediný sčítanec. Harmonická funkce sinus tak kreslí úsečku, když nabývá hodnot od –1 přes 0 do +1. Přitom se však, v této úsečce, skrývá její nelineární vykreslování v rovnoměrně běžícím čase.
Fyzikální postup vzniku Lissajousových obrazců otvírá otázku, zda je 1D kruh pouhou úsečkou.
Rovnicí jednotkové 1D kružnice je: x2 = 12. Rovnice určí dva okrajové body 1D obvodu, víc obvodových bodů 1D kružnice nemá.
Dále uchopím jediný ze sčítanců Lissajousova obrázku, zde sin2 x.
Proměnnou x lze nahradit součinem kruhového kmitočtu a času: x = ω · t.
Výsledkem se určí 1D kruh (obr. 3). Tedy ne dva okrajové body,
ale celou úsečku vykresluje funkce: sin2 ω·t = y2.
Zásluhou rostoucího času ji vykresluje opakovaně.
Dvojrozměrný graf, s časem na vodorovné ose, poněkud zakrývá skutečnost 1D kruhu. Pod jeho vlivem jakobychom zapomínali, že harmonická funkce je jednorozměrná.
Obr. 3. Harmonická funkce je 1D kruhem
Jednorozměrnou harmonickou fyzikální veličinou bývá např. elektrické napětí (obr. 4). Veličinu popisují její hodnoty špičková UMAX a střední USTR. Platí USTR = 2 UMAX/π.
Osvědčené výpočty kružnice a koule vycházejí z hranatých objektů čtverce a krychle (tab. 1). Když rovnice pro obvod a obsah čtverce doplním koeficientem π/4,
pak určím vztahy výpočtů obvodu a obsahu kružnice.
Rovnice pro povrch a objem krychle doplním koeficientem
π/6 a vypočítám povrch a objem koule.
Této opomíjené skutečnosti zkouším přisoudit větší důležitost.
Tab. 1. Výpočty vlastností kružnice a koule se odvozují ze čtverce a krychle
Tabulka (1.) nabízí zavedení stejného pořádku do výpočtů n-povrchu a n-objemu do všech n-rozměrných prostorů (tab. 2). Uvažuji vztah V = π · dn/2n pro výpočet objemu n-rozměrné kružnice v n-rozměrném prostoru.
Tab. 2. Navržený výpočet n-objemů n-rozměrných kružnic
Veličinu „1D objem“ nazvu jinak. Patří 1D kruhu, u kterého slovo „objem“ ani „povrch“ není výstižné. Vyberu pojem „rozkmit“ 1D
kruhu. Slovo vyjadřuje dynamické provedení 1D kruhu. Rozkmit označím písmenem „l“ (l jako length).
Fyzikálními jednotkami rozkmitu bývají například metry, volty, atd.
Lépe než geometrie popíše rozkmit úsečky (1D kruhu) fyzika, a to znázorněním časové závislosti.
Zavedenou rovnici střední hodnoty napětí, USTR = 2 UMAX/π, porovnám s vlastností 1D kruhu.
Střední hodnotu napětí USTR přirovnám, v 1D kruhu, k jeho zadávanému průměru. Nutno ji dosadit dvakrát, pro vystižení
průměru, a nikoliv poloměru 1D kruhu:
d = 2 · USTR d ... průměr
Špičkovou hodnotu napětí UMAX porovnám s významem rozkmitu 1D kruhu. Tuto amplitudu UMAX
dosadím dvakrát, aby vyhověla rozkmitu:
l = 2 · UMAX l ... rozkmit
Do zavedené rovnice l = π · d/2,
v níž 1D n-objem nahrazuji rozkmitem (tab. 2), dosadím dva předchozí vztahy.
Následně vznikne: 2 · UMAX = π ·
(2 · USTR)/2
Úpravou: UMAX = π
· USTR/2
Porovnal jsem vlastnosti 1D veličin: harmonické funkce vůči 1D kružnici. Známé souvislosti mezi špičkovým a středním elektrickým
napětím se shodují s navrženými vlastnostmi 1D kruhu. To vede k větší pozornosti vůči 2. tabulce.
V mém přístupu mizí rozdíl mezi 1D kružnicí a 1D kruhem.
Námitka mladého matematika D. K. směřuje k definici útvaru. Jednorozměrný kruh (dosud se rozlišuje mezi 1D kružnicí a 1D kruhem), jako množina všech bodů přímky, jejichž vzdálenost od daného bodu (středu) nepřevyšuje daný poloměr r.
Jak se slučuje průměr 1D kruhu s vlastnostmi harmonické funkce? Zde rozkmit 1D kruhu je větší než jeho průměr!
Pojmů střední hodnota a špičková hodnota se přidržím. Navazují na pojmy průměr a obsah 2D kružnice. Nabízí se, že u 1D kružnice nemá smysl obdobné veličiny pojmenovávat průměrem a 1D obsahem.
Vznik Lissajousovy kružnice je natolik přesvědčivý, že dbám pojmenování jejích 1D složek jednorozměrnými kružnicemi. Takže
jako 1D kruh - 1D kružnici nepřijímám úsečku, nýbrž harmonickou funkci. Pak námitku, že průměr je menší než vzdálenost některých bodů 1D kruhu od jejího
středu, nesleduji. Ať u kružnice je číselná velikost průměru menší než její číselný obsah, u 1D kružnice ať je její rozkmit větší než průměr.
10.1. První příčinou odmítnutí námitky je zde řešená velikost rozkmitu a průměru 1D kruhu.
10.2. Další příčinu k odmítnutí uvažuji v neslučitelnosti našeho světa s Euklidovým prostorem. Ačkoliv kvalita úseček je jediná, jejich kvantitu vyjadřují dva druhy čísel. Ovšem i geometrie zrakové perspektivy ukazuje 1D kruhu větší rozkmit než průměr.
10.3. Definice n-kružnic všech n-rozměrných prostorů vyhovuje i 1D kružnici - „kružnice jako místo bodů, stejně vzdálených od středu“. Tvoří ji jen dva body. Poloměr menší než vzdálenost bodů obvodu od středu není definici na závadu.
Větší odlišnost je u definice 1D kruhu. Namítám, že dohodu jsme nezískali výpočtem, nýbrž matematice něco předepisuje pouhá přijatá lidská úvaha.
Naopak Lissajousovu kružnici, s jejími složkami, nevytvořil člověk.
l = π · r
Obr. 5 Harmonická veličina srovnaná s 1D kruhem
Navržené výpočty n-rozměrných kružnic nabízejí možnost, že svět je založený diskrétními body. Zde proto, že výpočet n-objemů n-kružnic (V = dn · π/2n) lze posuzovat odvozený z n-objemů n-čtverců diskrétního prostoru (V = dn).
Přepočet, z bodového prostoru směrem k perspektivním zrakovým zážitkům, je řešený: IIIv.
