Souměrný diagram odvozený z Minkowského - XVI    

11. 2018
Bohumír Tichánek

Souvislosti časoprostoru

V teorii relativity je již po celé století známý Minkowského diagram. Ukazuje propojení času a prostoru v časoprostoru.

Obě veličiny se vyskytují společně, pod jedním vlivem. Čas není přímo čtvrtým rozměrem světa, nýbrž je propojený se třemi délkovými rozměry určitým, odlišným způsobem. Newtonovský přístup jinak; uznával vzájemnou nezávislost prostoru a času.

Časoprostor působí ve světě tím způsobem, že neustále určuje nárůst času v souvislosti s pohybem v geometrickém prostoru. Extrémními případy jsou foton - jemu čas nepřibývá, kdežto objektu bez pohybu čas přibývá nejrychleji.


Minkowského diagram

Ve dvojrozměrném prostoru lze časoprostor znázorňovat následovně (obr. 1). Postup objektu časem, podle svislé osy - a pohyb prostorem, podle vodorovné. Respektováním mezní rychlosti světla vznikne kužel, jehož objem je určující objektům, jež vyšly z počátku 0. Není jim dovoleno stoupat mimo kužel; to by značilo překročení rychlosti světla. Kužel se stále zvětšuje, tak jak tmavošedá rovina postupuje nahoru v čase.

Osy vodorovná a svislá jsou cejchované toutéž jednotkou. Užití ct pro svislou osu, namísto t, zdůrazňuje společnou jednotku - metry, oběma osám časoprostoru. Svislé ose se sekundy krátí:     1 m/s · 1 s = 1 m.

Minkowského diagram - 2D prostor

Obr. 1. Minkowského diagram pro dvojrozměrný prostor

Geometrickému 1D prostoru se nezobrazí kužel, ale jen trojúhelník (obr. 2). Zde rovnoramenný, zásluhou měřítek dílků 1 s ~ 300.000 km. Opět se hmota nemůže objevit mimo vybarvenou plochu. Obrázek určuje kosmoplánu rychlost 300.000 km za 3 sekundy.

Minkowského diagram jednorozměrného prostoru

Obr. 2. Minkowského diagram jednorozměrného prostoru

Diagram však názorně nezobrazí rovnocennost času a prostoru. Vždyť ukáže odlišné vzdálenosti, jež má postava bez pohybu a foton bez času – měřeno od počátku 0.


Souměrný diagram

Uplatnit lze také další graf, který však dosud bývá mimo zájem fyzikální teorie (obr. 3). Protože čas a pohyb prostorem jsou v časoprostoru rovnocenné, lze obdobně užít obě osy. Svislá - pro čas a vodorovná - pro dráhu. V ocejchování grafu sjednotím dílky délkově: 1 sekunda - svisle a 300.000 km - vodorovně.

Souměrný diagram jednorozměrného prostoru

Obr. 3. Souměrný diagram jednorozměrného prostoru

Smysl souměrného diagramu

V Minkowského diagramu se časoprostor projevoval zvedáním kružnice (pro 2D světový prostor), nebo úsečky (pro 1D světový prostor), po časové ose.

Nyní k 1D prostoru, k vodorovné ose. Časoprostor v souměrném obrázku určuje rovnoměrný růst průměru čtvrtkružnice, s jejím středem v počátku časoprostoru.

Objektům v pohybu se relativisticky zpožďuje čas. Zde souměrný graf umožní snadné zobrazení této skutečnosti. Například kosmoplán ať má rychlost 300.000 km za 3 sekundy pozemské. Tento čas tří sekund platí pro postavu bez pohybu na svislé časové ose.

Na svislé ose lze odečítat zpomalený čas (obr. 4) kosmoplánu, jenž má rychlost 100.000 km/s (za jednu sekundu). Třem sekundám pozemským odpovídá čas na kosmoplánu jen 2,8 sekundy. Kosmonauti stárnou pomaleji.

Souměrný obrázek času a prostoru. STOP

Obr. 4. Souměrný diagram umožní odečet zpomaleného času, ze svislé osy

Graf umožňuje nalézt vlastní (zpomalený) čas orientačně, snadným vyhledáním na vodorovné a svislé ose. Určující je přitom umístění sledovaného kosmoplánu na obvodě čtvrtkružnice. Podle jeho rychlosti na odpovídajícím místě jejího obvodu.

Například ať má rychlost 750.000 km/3 sekundy. Pak z vodorovné osy nutno vztyčit kolmici v bodě 750.000 km, a z průsečíku s obloukem najít ve vodorovném směru zpomalený relativistický čas, který odpovídá zadané rychlosti (250.000 km/s).

Naše stará Apolla a Sojuzy mívají rychlost tak asi 30 km za 3 sekundy, takže za 3 sekundy pozemské na nich uplyne čas také 3 s. Podrobnosti o nepatrném zpoždění času z grafu neodečteme.


Ověření funkce souměrného diagramu

Výpočtem a měřením lze porovnat funkci navrženého souměrného diagramu.

v

l

tV

tZ

km/s

km

s

s

100.000

300.000

2,82

2,8

200.000

600.000

2,28

2,2

250.000

750.000

1,65

1,6


Tabulka časů zjištěných výpočtem nebo odměřením v grafu

v … rychlost objektu
l … dráha objektu uražená za 3 sekundy
tV … vlastní čas objektu - vypočítaný
tZ … vlastní čas objektu - změřený na svislé ose 4. obrázku

Závěr

Výsledky z tabulky ukazují, že předvedený princip pro zjištění relativistického času přijatelně posloužil. Využití souměrného diagramu může studentům pomoci při pochopení problematiky speciální teorie relativity. Přesné výsledky však poskytnou relativistické výpočty.


www.tichanek.cz